GPS Na­vi­ga­ti­on

Grund­la­gen der Po­si­ti­ons­be­stim­mung

Die ma­the­ma­ti­schen Grund­la­gen der Po­si­ti­ons­be­stim­mung auf der Er­de mit­tels GPS Sa­tel­li­ten fin­det man in epi­scher Brei­te in zahl­rei­chen Ver­öf­fent­li­chun­gen, in der Wi­ki­pe­dia und auf Sei­ten der NASA, die mit dem Navstar Pro­gramm An­fang der 80er Jah­re die Ent­wick­lung ein­lei­te­te. Ge­dacht war das Sys­tem zur Steue­rung von Kampf­schif­fen und der Preis von et­wa 1 Mio. DM für ei­nen Emp­fän­ger schränk­te den Nut­zer­kreis auf in­ter­es­sier­te Stel­len und auf das Mi­li­tär ein. Da­mals mach­ten die sel­te­nen und wert­vol­len Gerä­te lan­ge Rei­sen, so z.B. vom In­sti­tut für Geo­dä­sie der Uni­ver­si­tät Bonn in die Ant­ark­tis und ei­ne ein­zi­ge Koor­di­na­ten­be­stim­mung dau­er­te viel­leicht ei­nen Tag und mehr. Da­mals wa­ren näm­lich nicht nur die Emp­fän­ger sel­ten, son­dern auch die Sa­tel­li­ten, so­dass die er­for­der­li­che An­zahl von vier Sa­tel­li­ten nicht per­ma­nent über dem Ho­ri­zont sicht­bar war. Da­mals war die Re­chen­leis­tung ei­nes Hoch­schul­re­chen­zen­trums ge­rin­ger als das, was heu­te in je­dem Wohn­zim­mer steht. Und da die Ame­ri­ka­ner aus Angst vor der hoch­ge­nau­en Be­stim­mung des Er­schwe­re­fel­des die ge­sen­de­ten Bahn­da­ten der Sa­tel­li­ten ver­fälsch­ten, durf­ten nur si­cher­heits­dienst­lich über­prüf­te Mit­ar­bei­ter die tat­säch­li­chen Bahn­da­ten nach­träg­lich aus­wer­ten, was letzt­lich erst auf geo­dä­tisch brauch­ba­re Er­geb­nis­se führ­te.
Zermatt/Breuil-Cervinia GPS Rohdaten*
Ma­the­ma­tik zu er­klä­ren oh­ne Ma­the­ma­tik zu be­nut­zen ist ei­ne Kunst, die nur we­ni­ge Re­dak­teu­re ei­ner Wis­sen­schafts­re­dak­ti­on be­herr­schen - und mit de­nen will ich nicht kon­kur­rie­ren. Trotz­dem soll hier das prin­zi­pi­el­le Mo­dell ge­zeigt wer­den, das mit der Tan­gen­te an die Er­de zu­gleich die für Kar­ten üb­li­che Ebe­ne der Pro­jek­ti­on dar­stellt. Die Hö­he re­prä­sen­tiert den Ab­stand des Beo­b­ach­ters vom El­lip­so­id, ge­mes­sen ent­lang der Flä­chen­nor­ma­len.
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GPS Sa­tel­li­ten flie­gen auf pol­na­hen Bah­nen um die Er­de und sen­den da­bei Si­gna­le aus, die In­for­ma­tio­nen über die ak­tu­el­le Po­si­ti­on ent­hal­ten und über den Zeit­punkt der Auss­trah­lung. Die­ser Zeit­punkt ist ent­schei­dend für die Be­rech­nung der Si­gnal­lauf­zeit, die aus der Dif­fe­renz von Sende- und Empfangs­zeit­punkt be­rech­net wird. Aus der Po­si­ti­on der Sa­tel­li­ten und der Stre­cke zum Beo­b­ach­ter, die sich als Pro­dukt aus Lauf­zeit und Licht­ge­schwin­dig­keit er­gibt, las­sen sich theo­re­tisch die drei un­be­kann­ten Koor­di­na­ten des Beo­b­ach­ters im Raum be­rech­nen. Lei­der ist der Empfangs­zeit­punkt we­gen der gro­ßen Ge­schwin­dig­keit des Lichts nicht mit hin­rei­chen­der Ge­nau­ig­keit zu re­pro­du­zie­ren; da­zu müss­te man Atom­uh­ren durch die Ge­gend schlep­pen. Des­halb wird der Empfangs­zeit­punkt als vier­te Un­be­kann­te in die Glei­chun­gen ein­ge­führt, wes­halb ei­ne vier­te Beo­b­ach­tung (und da­mit ein vier­ter Sa­tel­lit) zur Lö­sung des Glei­chungs­sys­tems er­for­der­lich ist. Das Bild zeigt ei­nen fünf­ten Sa­tel­li­ten, wo­mit das Glei­chungs­sys­tem über­be­stimmt ist. Statt die­ses nach gän­gi­gen Aus­glei­chungs­ver­fah­ren zu lö­sen und die ge­won­ne­ne Ge­nau­ig­keit durch ei­nen er­heb­li­chen zu­sätz­li­chen Re­chen­auf­wand zu er­kau­fen, er­mit­telt der GPS Emp­fän­ger zu­meist den geo­me­trisch güns­tigs­ten Schnitt aus den mög­li­chen Kom­bi­na­tio­nen. Die Be­rech­nung der Schnitt­ge­nau­ig­keit ist zu­dem nur pe­ri­odisch er­for­der­lich, da sich die Sa­tel­li­ten­kon­stel­la­ti­on mit der Zeit mo­de­rat än­dert. Heu­te flie­gen ca. 36 Sa­tel­li­ten et­wa 20000 km über der Er­de, wo­durch bei gro­ßer Ho­ri­zont­frei­heit et­wa zehn Sa­tel­li­ten zu­gleich sicht­bar sind. Die Zahl va­ri­iert et­was, weil nicht im­mer al­le gleich­zei­tig in Be­trieb sind.
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Sehr viel wei­ter ge­hen die Aus­füh­run­gen auf ko­wo­ma. Ei­ne wirk­lich le­sens­wer­te Sei­te des Net­zes!